計測における誤差解析入門（その30） 8-16, 8-18, 8-19, 8-20

John R. Taylor「計測における誤差解析入門」の読書メモ

8.16

$y_i$ の誤差がすべて $\sigma_y$ であることを使う．

$\begin{align} X = \sum_i x_i,\ Y=\sum_i x_i^2 \end{align}$

とおく．誤差伝搬の一般式(3.47)より

$\begin{align} (\delta A)^2 &= \frac{\sigma_y^2}{\Delta^2}\sum_j (Y -x_j X)^2 \\\\ &= \frac{\sigma_y^2}{\Delta^2} \left( N Y^2 - 2X^2 Y+X^2 Y \right) \\\\ &= \frac{\sigma_y^2}{\Delta^2} \sum_i x_i^2 \left( N Y - X^2 \right) \\\\ &= \frac{\sigma_y^2}{\Delta} \sum_i x_i^2 \end{align}$

$\begin{align} (\delta B)^2 &= \frac{\sigma_y^2}{\Delta^2}\sum_j \left( N x_j -X \right)^2 \\\\ &= \frac{\sigma_y^2}{\Delta^2} \left( N^2 Y -2N X^2 + N X^2 \right) \\\\ &= \frac{\sigma_y^2}{\Delta^2} N \left( N Y- X^2\right) \\\\ &= \frac{\sigma_y^2 N}{\Delta} \end{align}$

となるので，(8.16), (8.17)を得る．

8.18

$B$ に真の値を使うならば，(8.14)で $A=0$ としたものが $\sigma_y$ になる． $B$ に最良推定値を使う場合，パラメータの独立な自由度が1つ減るので，(8.15)に対応して

$\begin{align} \sigma_y = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum(y_i-Bx_i)^2} \end{align}$

になる．

$B$ の誤差は，最良推定値

$\begin{align} B=\frac{\sum xy}{\sum x^2} \end{align}$

に誤差伝播の一般式(3.47)を使う． $y_i$ の誤差はすべて $\sigma_y$ であるとすると

$\begin{align} (\delta B)^2=\sigma_B^2 &= \frac{\sigma_y^2}{(\sum x^2)^2} \sum x^2 = \frac{\sigma_y^2}{\sum x^2} \end{align}$

$\begin{align} \sigma_B = \frac{\sigma_y}{\sqrt{\sum x^2}} \end{align}$

となる．

8.19

8.16 と同じだが，(8.37), (8.38)を使う．

$\begin{align} W = \sum_i w_i,\ X=\sum_i w_i x_i,\ Y = \sum_i w_i x_i^2 \end{align}$

とおく．誤差伝搬の一般式(3.47)より

$\begin{align} (\delta A)^2 &= \frac{1}{\Delta^2}\sum_j \frac{1}{w_j}\left( w_j Y -w_j x_j X \right)^2 \\\\ &= \frac{1}{\Delta^2} \left(W Y^2 - 2 X^2 Y +X^2 Y \right) \\\\ &= \frac{1}{\Delta^2} Y \left( W Y- X^2\right) \\\\ &= \frac{1}{\Delta} \sum_i w_i x_i^2 \end{align}$

$\begin{align} (\delta B)^2 &= \frac{1}{\Delta^2}\sum_j \frac{1}{w_j} \left( w_j x_j W -w_j X \right)^2 \\\\ &= \frac{1}{\Delta^2} \left( Y W^2 -2 W X^2+ W X^2 \right) \\\\ &= \frac{1}{\Delta^2} W \left( WY-X^2 \right) \\\\ &= \frac{1}{\Delta} \sum_j w_j \end{align}$