計測における誤差解析入門（その15） 3-46, 3-48, 3-50

John R. Taylor「計測における誤差解析入門」の読書メモ

3.46

最良推定値は $18+12=30$ ．

$\begin{align} \frac{\partial q}{\partial x} = y+\frac{2x}{y}, \quad \frac{\partial q}{\partial y}= x - \frac{x^2}{y^2} \end{align}$

より

$\begin{align} \delta q_x = \left(3.0+\frac{2\cdot 6.0}{3.0}\right)\cdot 0.1=0.7 \end{align}$

$\begin{align} \delta q_y = \left(6.0-\frac{6.0^2}{3.0^2}\right)\cdot 0.1=0.2 \end{align}$

$\begin{align} \delta q = \sqrt{(\delta q_x)^2+(\delta q_y)^2}=0.7 \end{align}$

3.48

(a)

$\begin{align} q = \frac{x+2}{x},\quad \frac{dq}{dx}=-\frac{2}{x^2},\quad \delta q = \frac{2}{x^2}\delta x \end{align}$

により， $q=1.1, \delta q = 2/400=0.005$ .

逐次的に誤差を計算すると， $x+2=22\pm1$ より $(22\pm 1)/(20\pm 1)=1.1\pm 0.07$ となる．これは誤差の補償が起こっているために過大評価である．

(b) $q=-1, \delta q =40\delta x/x^2 = 0.1$

逐次的に誤差を計算すると， $x-40=-20\pm1$ より $(-20\pm 1)/(20\pm 1)=-1\pm 0.07$ となる．

この結果は誤差の補償が起こらず，一般式による評価とほぼ同じ誤差である．これは $x$ を過大評価すると $q$ の分子は(マイナスなので)過小評価することになり，一方で分母は過大評価することになるので誤差の補償が起きないことによる．

3.50

$q=40\pm3^\circ$ は $\theta$ の間違いと思われる．最良推定値は

$\begin{align} \frac{10+2}{10+7\cos(160\pi/180)} = 3.5 \end{align}$

誤差は

$\begin{align} \frac{\partial q}{\partial x}=\frac{y\cos(4\theta)-2}{[x+y\cos(4\theta)]^2} \end{align}$

$\begin{align} \frac{\partial q}{\partial y}=-\frac{(x+2)\cos(4\theta)}{[x+y\cos(4\theta)]^2} \end{align}$

$\begin{align} \frac{\partial q}{\partial \theta}=\frac{4y(x+2)\cos(4\theta)}{[x+y\cos(4\theta)]^2} \end{align}$

$\begin{align} \delta q = \sqrt{\left(\frac{\partial q}{\partial x}\delta x\right)^2 + \left(\frac{\partial q}{\partial y}\delta y\right)^2 + \left(\frac{\partial q}{\partial \theta}\delta \theta\right)^2}=1.8 \end{align}$