計測における誤差解析入門（その28） 8-2, 8-4, 8-6, 8-8

John R. Taylor「計測における誤差解析入門」の読書メモ

8.2

$\sum x^2 = 20, \sum x = 0, \sum y = 24, \sum xy = 22$ であるから， $\Delta = 4\cdot 20=80$ となる．

$\begin{align} A = \frac{20\cdot 24}{80}=6, \qquad B= \frac{4\cdot 22}{80}=1.1 \end{align}$

よって $y=6+1.1x$ となる．

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8.4

重心の座標は $(\bar{x}, \bar{y})=(\sum x_i/N, \sum y_i/N)$ である．(8.8)の両辺を $N$ で割ると

$\begin{align} A+B \bar{x}= \bar{y} \end{align}$

を満たす．これは直線 $y=A+Bx$ が重心を通ることを意味する．

8.6

$\begin{align} \Delta = 2(x_1^2+x_2^2)-(x_1+x_2)^2=(x_1-x_2)^2 \end{align}$

$\begin{align} A&=\frac{1}{\Delta}[ (x_1^2+x_2^2)(y_1+y_2)-(x_1+x_2)(x_1 y_1+x_2 y_2)] \\\\ &=\frac{1}{\Delta} (x_1-x_2)(x_1 y_2-x_2 y_1) \\\\ &= \frac{x_1 y_2-x_2 y_1}{x_1-x_2} \\\\ B&= \frac{1}{\Delta}[ 2(x_1 y_1+x_2 y_2)-(x_1+x_2)(y_1+y_2)] \\\\ &= \frac{1}{\Delta}(x_1-x_2)(y_1-y_2) \\\\ &= \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \end{align}$

であるから

$\begin{align} A+Bx_1 &= \frac{x_1 y_2-x_2 y_1+x_1(y_1-y_2)}{x_1-x_2}=y_1 \\\\ A+Bx_2 &= \frac{x_1 y_2-x_2 y_1+x_2(y_1-y_2)}{x_1-x_2}=y_2 \end{align}$