ファデエフ-ポポフの行列式 (Faddeev-Popov)

ゲージ場の経路積分量子化で使われるファデエフ-ポポフの方法は一体何をやっているのかを，簡単な積分で考えてみる．

$\begin{align} Z = \int_{-\infty}^\infty dx\int_{-\infty}^\infty dy\; e^{-\frac{1}{2}a^2 (x-y)^2}\qquad (a>0) \end{align}$

この積分は発散している．そこで次の変数変換を行う．

$\begin{align} &\ x_\pm = x\pm y \\\\ &\ dx_+ dx_- = \bigg|\frac{\partial (x_+, x_-)}{\partial (x, y)}\bigg| dx dy = 2dxdy \\\\ &\ Z = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty dx_+ \int_{-\infty}^\infty dx_- e^{-\frac{1}{2}a^2 x_-^2} \\\\ &\ = \frac{\sqrt{2\pi}}{2a} \int_{-\infty}^\infty dx_+\end{align}$

発散は $x_+$ 積分から生ずる．このように収束する積分と発散する積分を（物理的な意味づけのもとに）分離する方法がファデエフ-ポポフの方法である．

$Z$ は次のような変換(''ゲージ変換'')で不変である。

$\begin{align} x^U = x+ U,\quad y^U=y+U \end{align}$

$U$ は定数である。これは被積分関数が $x-y$ のみの関数であるためである．この式を一種のゲージ変換とみなすと， $U$ を変えたときに $x^U, y^U$ が移動する軌跡はゲージ軌跡と呼ばれ、どの $(x^U, y^U)$ も $(x, y)$ と同等の寄与を $Z$ に与える。発散は $U$ の自由度（ゲージ変換の自由度）の積分から生ずる．そこで, $U$ をいったん固定（ゲージ固定）して積分し，その後あらためて $U$ に関して積分することを考える．このためには例えば恒等式

$\begin{align} 1 = \int_{-\infty}^\infty dU \delta\left(\frac{1}{2}(x+y)+U\right) \end{align}$

を $Z$ に挿入する。

$\begin{align}Z = \int dU \left[ \int d x\, d y\, \delta \left( \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + U \right) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } ( x - y ) ^ { 2 } } \right] \end{align}$

変数変換すると

$\begin{align} Z &= \int dU \left[ \int d x^U\, d y^U\, \delta \left( \frac { 1 } { 2 } ( x^U + y^U ) \right) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } ( x^U - y^U ) ^ { 2 } } \right] \\\\ &= \int dU \left[ \int d x\, d y\, \delta \left( \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) \right) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } ( x - y ) ^ { 2 } } \right] \end{align}$

となる。最後の表式の被積分関数は $U$ によらない．これは $U=0$ に固定しておき，その後 $U$ の積分を行っていることに相当する．これにより無限大の $U$ 積分を分離できたことになる。

この例は $x^U+y^U=0$ となるようにいったん $U$ を固定して積分したが，今度は

$\begin{align} f(x^U,y^U)=0 \end{align}$

の条件のもとに積分することを考える。

$\begin{align} 1 &= \Delta _ { f } ( x , y ) \int dU \delta \left[ f \left( x ^ {U } , y ^ {U} \right) \right] \\\\ &= \Delta _ { f } ( x , y ) \int dU \delta [ f ( x + U , y + U ) ] \tag{1}\label{1} \end{align}$

ここで $\Delta_f(x, y)$ は $U$ 積分の規格化因子である．

$\begin{align} \delta[f(x^U, y^U)] = \frac{1}{\frac{\partial f}{\partial U}\bigg|_{U=0}} \delta(U) \end{align}$

$\begin{align} \Delta_f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial U}\bigg|_{U=0} \end{align}$

\eqref{1} において $x\to x+U', y\to y+U'$ と変数変換すると

$\begin{align} 1 = \Delta_f(x+U', y+U') \int dU \delta[f(x+U+U', y+U+U')] \end{align}$

さらに $U\to U+U'$ と変数変換すると

$\begin{align} 1 = \Delta_f(x+U', y+U') \int dU \delta[f(x+U, y+U)] \end{align}$

これと\eqref{1}を比べると

$\begin{align} \Delta_f(x, y)=\Delta_f(x+U', y+U') \end{align}$

となり、 $\Delta_f(x, y)$ はゲージ変換のもとで不変であることがわかる。

\eqref{1}を $Z$ に挿入して

$\begin{align} Z = \int dU \left[ \int d x\, d y\, \Delta _ { f } ( x , y ) \delta [ f ( x + U, y + U) ] e ^ { - \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } ( x - y ) ^ { 2 } } \right] \end{align}$

$\Delta_f(x, y)$ はゲージ不変であるから、変数変換によって

$\begin{align} Z = \int dU \left[ \int d x\, d y\, \Delta _ { f } ( x , y ) \delta [ f ( x , y ) ] e ^ { - \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } ( x - y ) ^ { 2 } } \right] \end{align}$

とできる。すなわち被積分関数は $U$ によらず， $x, y$ 積分は収束する． $\Delta_f(x, y)$ はファデエフ-ポポフ行列式と呼ばれる。

参考：R. Casalbuoni, Introduction to Quantum Field Theory 2nd ed., Wold Scientific (2017)