量子力学の定常摂動論（その2）

　レイリー-シュレーディンガーの摂動展開

$\begin{align} |n\rangle &=|n^{(0)}\rangle + (E_n^{(0)}-H_0)^{-1} ( 1-|n\rangle \langle n^{(0)}|)\ V |n\rangle\tag{1} \label{1}\end{align}$

を具体的に計算してみる．

$\begin{align} Q_n =1-|n^{(0)} \rangle \langle n^{(0)}| \end{align}$

としておくと，1次では

$\begin{align} |n^{(1)} \rangle &=|n^{(0)}\rangle + (E_n^{(0)}-H_0)^{-1} Q_n\ V |n^{(0)} \rangle \\\\ &= |n^{(0)}\rangle + \sum_{m\neq n} \frac{ V_{mn}}{ E_n^{(0)}-E_m^{(0)} } |m^{(0)}\rangle\qquad (V_{mn}=\langle m^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle) \end{align}$

2次では

$\begin{align} |n^{(2)} \rangle &=|n^{(0)}\rangle+ |n^{(1)}\rangle + (E_n^{(0)}-H_0)^{-1} ( 1-|n^{(1)}\rangle \langle n^{(0)}|)\ V |n^{(1)} \rangle \\\\ &=|n^{(0)}\rangle + |n^{(1)}\rangle + \sum_{m\neq n}\sum_{l\neq n} \frac{ V_{ml} V_{ln} }{ (E_n^{(0)}-E_m^{(0)}) (E_n^{(0)}-E_l^{(0)}) } |m^{(0)}\rangle\\\\ &\qquad - \sum_{m\neq n} \frac{ V_{nn} V_{mn} }{ (E_n^{(0)}-E_m^{(0)})^2} |m^{(0)}\rangle \end{align}$