電磁気学の基礎 I （その25） 5.4.1, 5.4.2, 5.4.3

　5.4.1節．十分弱い電場とは何と比べて弱いのか？

　5.4.2節．球内の同心球面上で $\oint dS\mathbf{n}\cdot\mathbf{P}=\int dV \pmb{\nabla}\cdot \mathbf{P} =-\int dV \varrho^P=-q^P$ であるから， $a > r$ の場合に $4\pi r^2 P(r)=-q^P$ になる． $P=\epsilon_0 \chi_{\rm e} E$ を使うと

$\begin{align} -\frac{q^P}{4\pi r^2} = \frac{(q+q^P)\chi_e}{4\pi r^2} \end{align}$

であるから(5.20)を得る．

　5.4.3節．一様電場中の誘電体球の問題で，球内の電位をルジャンドル多項式で展開すると，原点で特異でない条件から

$\begin{align} \phi_2 = \sum_{l=0}^\infty A_l r^l P_l(\cos\theta)\end{align}$

という形になり，球外では無限遠での境界条件を考慮して

$\begin{align} \phi_1 = \phi_0 + \sum_{l=0}^\infty \frac{B_l}{r^{l+1}} P_l(\cos\theta)\end{align}$

と置ける．球面での電位の境界条件より，

$\begin{align} \sum_{l=0}^\infty A_l a^l P_l(\cos\theta) = -E_0 a\cos\theta + \sum_{l=0}^\infty \frac{B_l}{a^{l+1}} P_l(\cos\theta)\end{align}$

であり，両辺を比べて

$\begin{align} A_l a^l = \frac{B_l}{a^{l+1}}, \quad (l\neq 1),\quad A_1 a= -E_0 a + \frac{B_1}{a^2} \end{align}$

を得る．次に球面での電場の境界条件から

$\begin{align} \frac{\epsilon}{\epsilon_0}\sum_{l=1}^\infty l A_l a^{l-1} P_l(\cos\theta) = - E_0 \cos\theta - \sum_{l=0}^\infty (l+1) \frac{B_l}{a^{l+2}} P_l(\cos\theta)\end{align}$

となるので両辺を比べて

$\begin{align}B_0=0,\quad \frac{\epsilon}{\epsilon_0} A_1 = -E_0 -\frac{2B_1}{a^3},\quad \frac{\epsilon}{\epsilon_0} l A_l a^{l-1} = -\frac{(l+1)B_l}{a^{l+2}} \qquad (l\neq 0, 1) \end{align}$

となる．以上から $A_1, B_1$ 以外はすべて0になり，

$\begin{align} A_1 = -\frac{3}{\epsilon/\epsilon_0+2}E_0,\quad B_1=\frac{\epsilon/\epsilon_0-1}{\epsilon/\epsilon_0+2}a^3 E_0 \end{align}$

となる．よって

$\begin{align} \phi_1&=-E_0 z+\frac{\epsilon/\epsilon_0-1}{\epsilon/\epsilon_0+2}E_0\frac{a^3\cos\theta}{r^2} = -E_0 z+\frac{\epsilon-\epsilon_0}{\epsilon+2\epsilon_0}E_0\frac{a^3 z}{r^3}\\\\ \phi_2 &= -\frac{3}{\epsilon/\epsilon_0+2}E_0 r \cos\theta = -\frac{3\epsilon_0}{\epsilon+2\epsilon_0}E_0 z \end{align}$