電磁気学の基礎 I （その18） 4.4.1, 4.4.2

　4.4.1節．P84の真ん中に平面導体に対し $k=1$ ，とあるが，そうすると $G_{\mathrm D}$ がゼロになってしまう．おそらく

$\begin{align} G_{\mathrm D}(\mathbf{x}, \mathbf{x}')=\frac{1}{4\pi|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}-\frac{1}{4\pi|\mathbf{x}+\mathbf{x}'|} \end{align}$

である．

　(4.24)の2番目の等式は，

$\begin{align} \oint dS'\frac{\partial}{\partial n'} \left(\frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right) &= \oint dS' \mathbf{n}'\cdot\pmb{\nabla}' \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|} \\ &=\oint dS' \mathbf{n}'\cdot \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3} \\ &=-\oint dS' \mathbf{n}'\cdot \frac{\mathbf{x}'-\mathbf{x}}{|\mathbf{x}'-\mathbf{x}|^3} \end{align}$

となる．これは立体角を与える式であるから， $\mathbf{x}$ が閉曲面内部にあれば $-4\pi$ を与える．

　P84一番下の式の $\langle\phi\rangle$ は

$\begin{align} \langle\phi\rangle=\frac{1}{S}\oint dS' \phi(\mathbf{x}') \end{align}$

である．

　P85の2次元境界値問題には注意が必要である．2番目の式では

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial n'}G_{\mathrm D}(\mathbf{x}, \mathbf{x}') = -\frac{\partial}{\partial r'}G_{\mathrm D}(\mathbf{x}, \mathbf{x}') \end{align}$

である．円外の領域に注目しているので境界の法線ベクトルは円の内側に向かっている．このことになかなか気がつかずに悩んだ． $\varphi, \varphi'$ の意味もわかりにくいが， $\mathbf{x}=(r\cos\varphi, r\sin\varphi)$ , $\mathbf{x}'=(a\cos\varphi', a\sin\varphi')$ としているので， $\mathbf{x}$ と $\mathbf{x}'$ のなす角が $\varphi-\varphi'$ である．