棒磁石の磁化の発散

　前回の話は，磁場 $\mathbf{B}$ と $\mathbf{H}$ の違いを説明するときにも使える．棒エレクトレット（棒電石）の代わりに棒磁石を考えればよい．円柱状で，軸方向に一様な磁化をもち，自由に動ける電荷が存在しない棒磁石を考える．磁化 $\mathbf{M}$ しか存在しないので $\mathbf{H}$ の回転は0になる．

$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{H}=0 \end{align}$

これからただちに $\mathbf{H}=0$ としてしまうと，棒磁石外部では $\mathbf{B}=0$ となってしまい矛盾する． $\mathbf{H}$ の回転が0でも，発散が0であるとは限らない．

$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{B} - \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{M} = -\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{M} \end{align}$

つまり磁化の発散が0でなければ $\mathbf{H}$ の発散も0にならない．棒磁石は一様な磁化をもつので一見すると $\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{M}$ は0になるように思える．

　棒磁石内部では磁化は一様なので明らかに発散は0である．0でない発散をもつとしたら表面部分しかありえない．棒磁石を半径 $a$ ，長さ $L$ の円柱とし，磁化の方向を $z$ 軸方向として磁化の大きさを $M_0$ と書くと，任意の位置の磁化は

$\begin{align} \mathbf{M} = M_0 \, \theta(z) \theta(L-z) \theta(a-\rho) \hat{\mathbf{z}} \end{align}$

と書ける．ここで円柱座標 $(\rho, \phi, z)$ を使った．これから

$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{M} = \frac{\partial M_z}{\partial z} = M_0 \, [\delta(z) - \delta(L-z)] \theta(a-\rho) \end{align}$

となる．つまり棒磁石の底面部で0でない発散をもつことになる．棒磁石（ソレノイド）が無限に長い場合はこの影響がなくなるので発散は0になる．つまり $\mathbf{H}$ に対してもアンペールの法則を使って求めることができる．