計測における誤差解析入門（その39）11-16, 11-18, 11-20, 11-21

John R. Taylor「計測における誤差解析入門」の読書メモ

11.16

(a) $25\pm 5$

(b) $100\pm 20$

11.18

それぞれ $121\pm 11, 576\pm 24$ であるが，1分あたりにすると $121\pm 11, 96\pm 4$ となるので一致しているといえない．

11.20

$225\pm 15, 90\pm\sqrt{90}$ を1時間あたりに直すと， $1350\pm90, 900\pm 30\sqrt{10}$ となる．差をとると $450\pm 131$ となるので， $450\pm130$ の係数率になる．石は放射性であるといえる．

11.21

本の解答はややわかりづらい．

(a) $T_{\textrm{tot}}$ の間に $\nu_{\textrm{tot}}$ カウント得たとした場合，誤差は

$\begin{align} \delta \nu_{\textrm{tot}}= \sqrt{\nu_{\textrm{tot}}} \end{align}$

である．しかし $\nu_{\textrm{tot}}$ はまだ得ていないので，すでに測定した $r_{\textrm{tot}}$ で $\nu_{\textrm{tot}}$ を見積もる．

$\begin{align} \nu_{\textrm{tot}} = r_{\textrm{tot}} T_{\textrm{tot}},\quad \delta\nu_{\textrm{tot}} = \sqrt{ r_{\textrm{tot}} T_{\textrm{tot}} } \end{align}$

次に本番で得られるであろう計数率 $R_{\textrm{tot}}$ を，すでに測定した $r_{\textrm{tot}}$ を使って見積もる．

$\begin{align} R_{\textrm{tot}}= \frac{\nu_{\textrm{tot}}}{T_{\textrm{tot}}}=r_{\textrm{tot}},\quad \delta R_{\textrm{tot}} = \frac{\delta \nu_{\textrm{tot}}}{T_{\textrm{tot}}} = \sqrt{ \frac{r_{\textrm{tot}}}{ T_{\textrm{tot}}}} \end{align}$

バックグラウンドの場合も同様で，

$\begin{align} R_{\textrm{bgd}}= \frac{\nu_{\textrm{bgd}}}{T_{\textrm{bgd}}}=r_{\textrm{bgd}},\quad \delta R_{\textrm{bgd}} = \frac{\delta \nu_{\textrm{bgd}}}{T_{\textrm{bgd}}} = \sqrt{ \frac{r_{\textrm{bgd}}}{ T_{\textrm{bgd}}}} \end{align}$

と見積もられる．

求めたい量は

$\begin{align} R_{\textrm{sce}} = R_{\textrm{tot}} - R_{\textrm{bgd}} \end{align}$

であり，その誤差は

$\begin{align} (\delta R_{\textrm{sce}})^2 = (\delta R_{\textrm{tot}})^2 + (\delta R_{\textrm{bgd}})^2 =\frac{r_{\textrm{tot}}}{ T_{\textrm{tot}}} + \frac{r_{\textrm{bgd}}}{ T_{\textrm{bgd}}} \end{align}$

である． $T=T_{\textrm{tot}} + T_{\textrm{bgd}}$ は一定であるので，これを $(\delta R_{\textrm{sce}})^2$ の最右辺に代入し， $T_{\textrm{bgd}}$ を消去する．

$\begin{align} (\delta R_{\textrm{sce}})^2 = \frac{r_{\textrm{tot}}}{ T_{\textrm{tot}}} + \frac{r_{\textrm{bgd}}}{ T-T_{\textrm{tot}}} \end{align}$

右辺を $T_{\textrm{tot}}$ で微分すると

$\begin{align} -\frac{r_{\textrm{tot}}}{ T^2_{\textrm{tot}}} + \frac{r_{\textrm{bgd}}}{ (T-T_{\textrm{tot}})^2} = -\frac{r_{\textrm{tot}}}{ T^2_{\textrm{tot}}} + \frac{r_{\textrm{bgd}}}{ T^2_{\textrm{bgd}}} \end{align}$